Ana SayfaAna Sayfa
Biliyor muydunuz?Biliyor muydunuz?
140+140+
İletişimİletişim

Soneracci Üçgeni

6 months önce Soner Abay tarafından yazıldı, 1.640 kez görüntülendi ve hakkında 3 yorum yapıldı.
  

Soneracci Üçgeni

Fibonacci sayılarını ardışık şekilde birbiriyle çarpıp, çarpım sonuçları arasındaki farklarını inceledim. Ortaya çıkan aritmetik sisteme “Soneracci Üçgeni” adını verdim. Koltuğunuza yaslanın ve karşınızda Soneracci Üçgeni!

Fibonacci dizisi: Her sayının kendinden öncekiyle toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. Aşağıdaki üçgensel sistemin en üst satırı tamamen Fibonacci sayılarının başlangıcından oluşmaktadır. 

sonerac

 

Şimdi yukarıdaki üçgenimizi açıklayalım:

1.Satır: Tamamen Fibonacci sayılarından oluşmaktadır. Dizideki her sayı önceki 2 sayının toplamından oluşmaktadır.

2.Satır: Fibonacci dizisindeki ardışık sayıların 2′li gruplar halinde çarpılmasından oluşmaktadır. Örneğin: Fibonacci dizisindeki …13, 21, 34…’ün hemen alt satırına gelecek sayılar sırasıyla 273 ve 714′tür. 273, 13 ve 21′in çarpımından 714 ise 21 ve 34′ün çarpımından oluşmuştur. Yani 2. satırın mantığı tamamen, Fibonacci sayılarının çarpılıp sonuçların çarpılan iki fibonacci sayısının ortasının tam altı satırına yazılmasıdır.

3.Satır: Bu satırda ise çarpım sonucunda oluşan 2.satırdaki dizinin ardışık sayıları arasındaki farkı alıyoruz. Örneğin: 2. Satırdaki …6, 15, 40…’ın hemen alt satırına gelecek sayılar sırsaıyla 9 ve 25 tir. 9;  6 ile 15 arasındaki fark, 25 ise 14 ile 40 arasındaki farktır. 3. satırın mantığı çarpım sonucu oluşan yeni dizinin ardışık sayıları arasındaki farkları alınıp, sonucun işleme tabi tutulan iki sayının ortasının tam alt satırına yazılmasıdır. Ayrıca 3. dizideki sayılar 1.dizideki Fibonacci sayılarının karesidir! Tabiki de bu Fibonacci sayılarına has olan bir özellik değildir.

Bu durumu şu şekilde açıklayabiliriz:

“Herhangi bir 2 sayının toplamı sonucu oluşan sayıyla, öncesinde toplanan 2 sayının oluşturduğu 3′lü dizide ardışık sayılar çarpılıp sonuçlar farkı alındığında sonuç daima üçlü dizinin ortanca(büyüklük sırasında 2.) sayısının karesine eşit olacaktır.” Bu kurala “Soneracci Kuralı” adını veriyorum. Tabi ki bu sadece özelden genele gitme işlemidir. Gerçek anlamda bir kural olduğu iddiası değildir. Aşağıdaki denklemi açtığımızda B²=B² sonucu çıkacaktır. Burada yaptığım tek şey Fibonacci sayıları ile üçgenin 3. satırındaki ilişkiyi açıklamaktan ibarettir.

Matematiksel olarak bilinmeyenlerle açıklayacak olursam;

A+B var elimizde A+B=C olsun. Bunları sırsaıyla birbiriyle çarpıp aralarındaki farklarını alalım.

[(A*B)-(B*C)]=B²

C’nin yerine A+B koyarak sağlamasını yapabilirsiniz.

4.Satır: Bu satırda da bir önceki dizinin ardışık sayıları arasındaki farkı alma işlemi devam ediyor. Fakat karşımıza ilginç bir sonuç çıkıyor. 2. satır ve 4.satırın aynı sütunundaki(dikey hizasındaki) sayılar arasında da aritmetik bir sistem var. 2. ve 4. satırda aralarında lila çizgi çekilmiş, alt alta olan sayılaları inceleyelim. 2. satırdaki “2″ 4. satırda “3″ olmuş. Yani 1 artmış.  2. satırdaki “6″ 4. satırda “5″ olmuş. Yani 1 azalmış.  2. satırdaki  ”15″ 4. satırda “16″ olmuş. Yani 1 artmış. 2. satırdaki “40″ 4. satırda “39″ olmuş. Yani 1 azalmış. Sonuç olarak;  2. satırdaki sayıların 4. satırdaki durumlarını soldan sağa inceleyecek olursak: 1 artmış, 1 azalmış, 1 artmış, 1 azalmış. Bu durum satır boyunca sürekli devam ediyor. Düzenli bir şekilde 4. satırdaki halleri artıp azalıyor.

Not: Mavi renkle yazılmış olan sayılar iki önceki satıra göre artış göstermiş sayılardır. Kırmızı renkle yazılmış olanlar ise iki önceki satıra göre azalma göstermiş olan sayılardır.

5.Satır: Bu ve bundan sonraki diğer tüm satırlarda da bir önceki dizinin ardışık sayıları arasındaki fark alma işlemini görmeye devam edeceksiniz. 4. satırdaki 1 azalıp 1 artma durumu bu satırda karşımıza 2 azalıp 2 artma olarak çıkıyor. 3.satırdaki sayıları incelediğinizde 5. satırdaki karşılıklarının 2 eksikleri ya da 2 fazlaları olduğunu görebilirsiniz. Tıpkı 4. satırdaki gibi sırasıyla sayılar azalıp artmaya devam ediyor. Tek fark burdaki değişim miktarı. 4. satırdakinin iki katı olması. (Maviler 3. satıra göre artan sayıları, kırmızılar ise 3. satıra göre azalan sayıları belirtiyor.)

6.Satır: 2 önceki satıra göre azalıp artma işlemi karşımıza yine ikiye katlanarak çıkıyor. 4. satırdaki sayılar, 6 satırda 4 azalmış ya da 4 artmış durumda. 2. satırdaki 104 sayısı 4. satırda “1″ artarak 105 oluyor. Daha sonra bu sayı 6. satırda 4 azalarak 101 oluyor. Soldan sağa olan sırasıyla azalıp artma durumunun aynısını aynı dikeydeki sayılar arasında da görüyoruz.

7.Satır: Azalıp artma işlemi 2. satırdan sonraki tüm dizilerde olduğu gibi bir önceki satıra göre ikiye katlanarak devam ediyor. Yani 7. dizideki sayılar 5. dizideki sayıların 8 azalmış veya 8 artmış halidir. Örneğin; 5. dizinin “7519″ sayısı 7.dizide 8 artarak “7527″ oluyor.

Alt satırlara indikçe azalıp artma işlemlerinin büyüklükleri düzenli bir şekilde 2′ye katlanarak artıyor.

8.Satır: Bu satırdaki azalıp artma miktarı ise yine ikiye katlanarak “16″ oluyor. Örneğin:  6. satırdaki 4892 sayısı 16 artarak “4908″ haline geliyor.

9.Satır: Önceki satırdaki 16′lık azalıp artma miktarı ikiye katlanarak 32 oluyor. Örneğin:  7. satırdaki 31 sayısı 32 azalarak “-1″ oluyor.

Yani alt satırlara doğru indikçe azalıp aynı sütundaki sayılar arasındaki azalıp artma miktarları 2′nin kuvvetleri şeklinde yani ikiye katlanarak artıyor.

10.Satır: Azalıp artma miktarı tekrar ikiye katlanıyor ve “64″ oluyor. Örnek: 8 satırdaki 1857 sayısı 64 artarak “1921″ oluyor.

11.Satır: 10.satıra göre bu satırdaki aynı sütundaki sayılar arasındaki değişim miktarı ikiye katlanarak 128 haline geliyor. Örnek: 9.satırdaki 90 sayısı 128 azalarak “-38″ oluyor.

12.Satır: Bu dizi de ise sayılar 10. satıra göre 256 azalmış veya artmış durumda. Örnek: 10. satırdaki 53 sayısı 256 artarak 309 olmuş durumda.

13.Satır: Bu satırda azalma ve artış miktarı 256′dan sonra tekrar ikiye katlanarak 512 oluyor. Örneğin:  11. satırdaki 271 sayısı 512 azalarak -241 haline geliyor.

14.Satır: Vee sonuncu satıra geldik. 12. satırdaki 68 sayısı 1024 artış göstererek 1092 oluyor.

  Tüm satıların kendisinden önceki 2. satıra göre tanımlı olmasının sebebi ise 4. satırdaki sayıların [2B-A-C]‘den oluşuyor olmasıdır. Buradaki A, B, C sayıları 2. satırdaki 15, 40, 104 gibi üçlü gruplardır.

   En son satırda sadece 1092 olduğu için en uzun sütunumuz 1092′nin içinde olduğu sütundan oluşuyor. Bu sütun yukardan aşağı  273, 272, 276, 260, 324, 68 ve 1092′den oluşuyor. Sırasıyla azalma-artma miktarları, -1, +4, -16, +64, -256, +1024 yani sırasıyla 4′ün kuvvetleri şeklinde azalıp artıyor.

  Tabi ki bu üçgen, bu sayılarla sınırlı değildir. İşlemde kullandığımız Fibonacci sayılarını ne kadar çok artırırsak üçgende bi’ o kadar uzayacaktır. Soneracci üçgeni’de tıpkı Fibonacci dizisindei sayılar gibi sonsuzdur. Benim yazı da yaptığım gibi bu sayıların sadece bir kısmıyla işlem yapılmazsa üçgenin tek sayıdan oluşan en alt satırına asla ulaşılamayacaktır.

Not: Dizilerin yanındaki yeşil sayılar o dizinin kaçıncı satır olduğunu belirtiyor.

Dipnot:  Soneracci Kuralı diye paylaştığım denklemin bir indirgemeden ibaret olduğunu bildiğim halde(“C’nin yerine A+B koyarak sağlamasını yapabilirsiniz” dediğimde denklemin x=x şeklinde olduğunu biliyordum.) ”aritmetik kuraldır” diye mini başlık atmıştım. Ekşi duyuru’da üçgenden mütevellit paylaşmıştım. Fakat tamamen kural diye mini başlık attığım sadece 1. ve 3. satır arasındaki ilişkiyi açıklamaya çalıştığım indirgeme denklemle ilgilendi herkes. “Keşfettiğim aritmetik kural” ibaresini kullanırken yeni bir keşif olarak değil de 1.ve 3. satır arasında neden “kare” ilişkisi olduğunu keşfettim anlamında yazmıştım. Bu tabir ekşi duyuru’da aritmetik sistem keşfetmek başlığıyla birleşince Soneracci Kuralı’nın yeni bir formül olduğunu iddia ettiğim kanısı kaçınılmaz oldu. Ekşi duyurudaki başlığım; Soneracci Kuralı’nın yeni bir formül keşfi olduğuna yönelik bir iddia olsaydı: “Yeni aritmetik sistem yerine yeni formül diye paylaşımda bulunurdum. Yanlış anlaşılmama sebebiyet veren bu hatamı düzelttiği ve mutlak değeri koyduktan sonra “B>A olmak üzere” ibaresini kaldırmam konusunda beni uyardığı için lieutenantmono rumuzlu ekşi duyuru kullanıcısına teşekkür etmeyi borç bilirim.

B.P.S(Büyük Patlamadan Sonra) 13,798 milyar, M.S. 20.yy'da Dünya'ya geldim. Kısa mesafe koşucusu ve vücut geliştiriciyim. İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü'nün agnostik bir Fizik öğrencisiyim. Kozmoloji, kuantum mekaniği ve sayılar teorisi ile yakından ilgileniyorum. Blogumun logosundan anlaşılcağı üzere Pİ sayısıyla taparcasına ilgilenir virgülden sonraki 1001 basamağını ezbere bilirim. Hedefim doktoramı alıp teorik fizikte akademik kariyer yapmak.

Latest posts by Soner Abay (see all)

Benzer Yazılar
Pi Afişi
Pi Filmi(1998)’de Pi Sayısının Yanlış Yazılması Yukarıda 1998 yapımı olan Pi filminin başlangıcından bir kare görmektesiniz. Filmi izlerken kırmızı çerçeve içine aldığım kısmını görür görmez "eureka¹" diye çığlık attım. Çünkü; bu pi sayısı değildi...
Pi
Pi Sayısının İlk 1000 Basamağı 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038...
dogal-sayilar-ile-ilgili-afislerdogal-sayilar-ile-ilgili-afis-resimleri_42086131-3341-9A04-7E9F
İlk olarak 111 ve katlarının karelerinin 9 İle olan ilişkisini inceleyeceğiz. İlk önce 111 in karesini alalım. 111x111=12321 ----> Rakamları toplayalım 1+2+3+2+1= 9 222x222=49284 -->Rakamları toplayalım 4+9+2+8+4= 27  bunu da topla...
Yorumlar ( 3 )
  1. ja joba diyor ki:
    2
    1
    Güzel çalışma. Dediğin gibi sana aitse, tebrik ederim. Yalnız farkında olduğunu temenni ederek, internette paylaştığın bir şey üzerinde hak iddia edemeyeceğini hatırlatmak isterim. Bunu bir dost olarak söylüyorum, emeğinin heba olmaması için gerekenler yapmış olmanı umarak.
    • Soner Abay diyor ki:
      0
      1
      Yorumun için teşekkür ederim. Bu konu hakkında fazla bilgim olmadığı için blogumda paylaştım. Ne yapmam gerektiğine dair bi fikrin varsa aydınlatırsan sevinirim.
      • ja joba diyor ki:
        2
        1
        Vakit kaybetmeden notere gidip tescil ettirmen gerek fikrini. Ve bir dahaki sefere dikkat et,bu tarz şeyleri sözle bile paylaşmak sakıncalıyken nerelere varacağını bilmediğin internet girdabına sürüklemeden önce tamamen ipleri ellerinin arasına almış olmalısın. Başarılarının devamını dilerim.

© 2014 Soner Abay Tarafından Tüm Hakları Saklıdır. (Kaynak Göstermeden Alıntı Yapmayınız.)